加拿大 3 名高中生重新证明百年数学定理，只用课余时间、方法非常创新

3 位高中生，在课余时间重新证明了一个过去 100 年的数学定理。

圆不再孤独，门格海绵中可以找到各种数学结！

门格海绵，Karl Menger 在 1926 年提出的概念，对现代数学、图形学等领域至关重要。

这个分形海绵吸引了无数专业和业余数学家的眼球，因为它看起来太有趣了。

2014 年，数百名数学爱好者在 MegaMenger 全球行动中参与，制作了重达 200 磅的新版本门格海绵。

由于其多孔泡沫状结构，还被广泛用于模拟减震器和特殊的空间-时间形式。

这种非常优雅的结构源自一个立方体，通过移除特定中心立方体重复操作而得到。

在每次迭代中，海绵的间隙呈指数级增加，最终形成类似于海绵的结构。

门格海绵的特殊数学性质之一是：随着迭代，立方体的体积减少至零，而表面积则无限增大。

Menger 在 1926 年提出时，证明了任何类型的曲线都可以变形，然后嵌入海绵中，形成一种“通用曲线”。

来自加拿大的 3 位高中生，在跟随多伦多大学研究生 Malors Espinosa 的指导下，进一步拓展了这个定理的证明。

他们还发现，三叶结和普雷策尔结都可以映射到四面体版本的门格海绵中。

北卡罗来纳州立大学的拓扑学家 Radmila Sazdanovic 表示，这种证明方法非常巧妙。

他们通过弧形图与康托尔集表示结，发现了这个惊人的结果。

证明过程：用弧表示法证明结的嵌入

Menger 已经证明了可以在海绵中找到任何一个圆，那么，其他类似于圆的形状是否也成立呢？

例如，绳打结形成环，类似圆的结构。这种结构和圆具有同胚性质。

学生们寻找证明门格海绵可以嵌入任何结的方法，最终，三名高中生成功完成了这一挑战。

他们通过弧表示法将结的嵌入过程简化为对弧线的正确处理。

在这项没有明确答案的挑战中，三名学生展现了出色的团队合作和问题解决能力。

他们用弧表示法让数学家更容易研究结的重要性质。

他们通过将结映射回三维空间，展示了门格海绵和康托尔集的相似性。

他们证明了可以将任何结嵌入门格海绵的某个迭代中。

结论已经得出，但他们是否可以将所有结嵌入门格海绵的四面体版本中？

最初看起来不可能的想法，实际上被他们成功实现了。

他们发现了将三叶结的弧表示映射到四面体中的新方法，同时适用于普雷策尔结。

他们仍在探索其他类型结的嵌入方法。

最后一步

这次证明过程让学生们切身体会到了数学研究的艰辛。

与高中课堂中确定性答案不同，真正的数学研究充满了失败与挣扎。

学生们的证明方法或许为测量分形的复杂性提供了新思路。

不是所有分形都能容纳所有类型的结，理解它们的结构或许可以从这个角度入手。

这个作品也许会激发新的艺术灵感，类似于 2014 年 MegaMenger 大赛。

在证明过程中，3 位学生已毕业，但他们探究数学的热情未减，他们都在考虑未来是否从事数学相关职业。

参考链接：

• https://www.quantamagazine.org/teen-mathematicians-tie-knots-through-a-mind-blowing-fractal-20241126/

本文来自微信公众号：量子位（ID：QbitAI），作者：奇月

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